杨辉三角笃信许多东谈主齐不生疏suzyq 足交，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它是一个无尽对称的数字金字塔，从顶部的单个1运转，底下一瞥中的每个数字齐是上头两个数字的和。

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1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌，凭证“杨辉三角”请计较（a+b）6的张开式中从左起第四项的总共为（　　）

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

…

 

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  A．10  B．15  C．20  D．25

解：找礼貌发现（a+b）4的第四项总共为4＝3+1；

（a+b）5的第四项总共为10＝6+4；

∴（a+b）6的第四项总共为20＝10+10．

故选：C．

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2．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

举例：

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

…

请你猜念念（a+b）9的张开式中通盘总共的和是（　　）

 

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  A．2018  B．512  C．128  D．64

解：张开式共有n+1项，总共和为2n．

∴（a+b）9的张开式中通盘总共的和是：29＝512

3．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8；…凭证以上礼貌，（a+b）n张开式的总共和为 　     　．

 

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解：（a+b）0＝1，总共为1，20＝1

（a+b）1＝a+b，总共和为2，21＝2

（a+b）2＝a2+2ab+b2，总共和为4，22＝4

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，总共和为8，23＝8，

..．

（a+b）n张开式的总共和为：2n，

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故谜底为：2n．

4．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8；

…

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）4张开式共有　   　项，总共永诀为　            　；

（2）写出（a+b）5的张开式：（a+b）5＝　                  　；

（3）（a+b）n张开式共有　        　项，总共和为　     　．

 

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【分析】（1）本题通过阅读意会寻找礼貌，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）张开式的各项总共的礼貌：首尾两项总共齐是1，中间各项总共等于（a+b）n﹣1相邻两项的总共和．因此可得（a+b）4的各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）由（1）得出的礼貌，即可得出效果；

（3）凭证题意得出（a+b）n张开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．

解：（1）凭证题意知，（a+b）4的张开后，共有5项，

各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故谜底为：5，1，4，6，4，1；

（2）凭证题意得：（a+b）5的张开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

故谜底为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故谜底为：（n+1），2n．

5．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

举例：

（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8；

…

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）4张开式共有　   　项，总共永诀为　            　；

（2）（a+b）n张开式共有　        　项suzyq 足交，总共和为　     　．

 

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【分析】流程不雅察发现，这些数字构成的三角形是等腰三角形，两腰上的数齐是1，从第3走运转，中间的每一个数齐等于它肩上两个数字之和，张开式的项数比它的指数多1．凭证上头不雅察的礼貌很容易解答问题．

解：（1）张开式共有5项，张开式的各项总共永诀为1，4，6，4，1，

（2）张开式共有n+1项，总共和为2n．

故谜底为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2n．

6．我国古代数学家在数学发展史上硕果累累，“杨辉三角”即是其中一项，如图1左侧数字部分即是“杨辉三角”的局部，它揭示了（a+b）n（n为非负整数）的张开式的项数及各项总共的接头礼貌．请你不雅察，并凭证此礼貌写出：（a+b）5＝　                  　．

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【分析】流程不雅察发现，这些数字构成的三角形是等腰三角形，两腰上的数齐是1，从第3走运转，中间的每一个数齐等于它肩上两个数字之和，张开式的项数比它的指数多1．凭证上头不雅察的礼貌很容易解答问题．

解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

故谜底为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

7．南宋数学家杨辉在其著述《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌如图，后东谈主也将如图表称为“杨辉三角”．

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…

则（a+b）2020张开式中通盘项的总共和是　        　（效果用指数幂默示）．

【分析】通过阅读意会寻找礼貌，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）张开式的各项总共的礼貌：首尾两项总共齐是1，中间各项总共等于（a+b）n﹣1相邻两项的总共和．

解：张开式共有n+1项，总共和为2n．

∴（a+b）2020的张开式中通盘总共的和是：22020．

故谜底为：22020．

8．阅读底下的材料，解答下列问题：

我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）4张开式共有 　   　项，第二项总共为 　   　；总共和为 　     　．

（2）凭证上述礼貌，将（a+b）5张开；

（3）欺诈上述礼貌计较：993+3×992+3×99+1．

 

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【分析】（1）本题通过阅读意会寻找礼貌，不雅察（a+b）n张开式的各项总共的礼貌，即可求解；

（2）不雅察（a+b）n张开式的各项总共的礼貌，即可求解；

（3）将原式写成“杨辉三角”的张开式方法，即可得效果．

解：（1）由“杨辉三角”礼貌可知：（a+b）4张开式的总共永诀为1，4，6，4，1，

∴（a+b）4张开式共五项，第二项总共为4，总共和＝1+4+6+4+1＝16，

故谜底为：5，4，16；

（2）凭证题意得：（a+b）5张开式的总共永诀为，1，5，10，10，5，1，

∴（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）993+3×992+3×99+1

＝（99+1）3

＝1003

＝106．

9．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．举例：（a+b）0＝1，它唯独1项，总共为1；（a+b）1＝a+b，它有2项，总共永诀为1，1，总共和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有3项总共永诀为1，2，1，总共和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有4项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8…．

凭证以上礼貌，解答下列问题．

（1）（a+b）4的张开式共有 　   　项，总共永诀为 　            　．

（2）（a+b）n的张开式共有 　        　项，总共和为 　     　．

（3）计较：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1．

 

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【分析】（1）凭证图形可得（a+b）4的各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1；

（2）通过阅读意会寻找礼貌，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）张开式的各项总共的礼貌：首尾两项总共齐是1，中间各项总共等于（a+b）n﹣1相邻两项的总共和，因此即可得出效果；

（3）凭证（2）可得原式＝（2+1）5，再计较即可．

解：（1）凭证题意知，（a+b）4的张开后，共有5项，

各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故谜底为：5；1，4，6，4，1；

（2）凭证题意，得（a+b）n的张开式共有（n+1）项，

（a+b）0的总共和为1＝20，

（a+b）1的总共和为2＝21，

（a+b）2的总共和为4＝22，

（a+b）3的总共和为8＝23，

⋯，

由此礼貌可得，（a+b）n的总共和为2n．

∴（a+b）n的张开式共有（n+1）项，总共和为2n．

故谜底为：（n+1），2n；

（3）25+5×24+10×23+10×22+5×2+1＝（2+1）5＝243．

10．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8；…凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）4张开式共有　   　项，总共永诀为　            　；

（2）（a+b）n张开式共有　      　项，总共和为　     　．

（3）凭证上头的礼貌，写出（a+b）5的张开式．

 

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【分析】（1）本题通过阅读意会寻找礼貌，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）张开式的各项总共的礼貌：首尾两项总共齐是1，中间各项总共等于（a+b）n﹣1相邻两项的总共和．因此可得（a+b）4的各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）凭证题意得出（a+b）n张开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．

（3）由（1）得出的礼貌，即可得出效果．

解：（1）凭证题意知，（a+b）4的张开后，共有5项，

各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故谜底为：5，1，4，6，4，1

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故谜底为：n+1，2n．

（3）凭证题意得：（a+b）5的张开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

11．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的接头礼貌．

举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，总共永诀为1，3，3，1，总共和为8；

…

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）4张开式共有　   　项，总共永诀为　            　；

（2）（a+b）n张开式共有　      　项，总共和为　     　．

 

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【分析】本题通过阅读意会寻找礼貌，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）张开式的各项总共的礼貌：首尾两项总共齐是1，中间各项总共等于（a+b）n﹣1相邻两项的总共和．因此可得（a+b）4的各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．

解：（1）凭证题意知，（a+b）4的张开后，共有5项，

各项总共永诀为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故谜底为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．

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12．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的关联礼貌．

举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）5张开式共有 　   　项，总共和为 　     　．

（2）求（2a﹣1）5的张开式；

（3）欺诈表中礼貌计较：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不必表中礼貌计较不给分）；

（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 　        　．

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【分析】（1）厚爱读懂图1，写出下一瞥数字，填空即可；

（2）按照总共，张开式的书写方法张开即可；

（3）读懂表中的数据礼貌，不错把算式写出（2﹣1）5的方法，再计较；

（4）让x取零散值，计较出a1+a2+a3+…+a16+a17的值．

解：（1）凭证图表中的礼貌，

可得：（a+b）5张开式共有 6项，总共和为 1+5+10+10+5+1＝32，

故谜底为：6，32；

（2）（2a﹣1）5

＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5

＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；

（3）凭证图表中数据的礼貌不错发现：

25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，

∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；

（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，

∴当x＝1时，

（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，

当x＝0时，

（0+1）17＝a0＝1，

∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，

∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．

故谜底为：217﹣1．

13．我国宋朝数学家杨辉在他的著述《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）张开式的项数及各项总共的关联礼貌．

举例：（a+b）0＝1，它唯唯一项，总共为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，总共永诀为1，1，总共和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，总共永诀为1，2，1，总共和为4；

凭证以上礼貌，解答下列问题：

（1）（a+b）5张开式的总共和是 　     　；（a+b）n张开式的总共和是 　     　．

（2）当a＝2时，（a+b）5张开式的总共和是 　      　；（a+b）n张开式的总共和是 　     　．

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【分析】（1）凭证杨辉三角找出总共和的礼貌求解．

（2）零散值法求解．

解：（1）由杨辉三角得：

（a+b）²的总共和为：1+2+1＝4＝2²，

（a+b）³的总共和为：1+3+3+1＝8＝2³，

···，

（a+b）5张开式中各项的总共和为：25＝32，

（a+b）n的张开式中各项的总共和为：2n．

故谜底为：32，2n．

（2）当a＝2时，（a+b）²＝（2+b）²＝4+4b+b²，总共和为：4+4+1＝9＝3²，

当a＝2时，（a+b）³＝2³+3×2²×b+3×2×b²+b³，总共和为：8+12+6+1＝27＝3³，

∴以此类推：当a＝2，（a+b）5＝35＝243，（a+b）n张开式的总共和是3n．

故谜底为：243suzyq 足交，3n．

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